Ahmad Bilal: Tugas makalah metode numerik

MAKALAH

METODE NUMERIK

“PENENTUAN AKAR PERSAMAAN”

OLEH

USMAN NGABITO

UNIVERSITAS ICHSAN GORONTALO

KAMPUS II POHUWATO

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

TAHUN 2014/2015

KATA PENGANTAR

Rasa syukur Kami panjatkan kehadirat Allah SWT dengan rahmat dan hidayahNya Kami dapat menyelesaikan makalah ini,untuk memenuhi tugas matakuliah Metode Numerik

Semoga dengan tersusunya makalah ini dapat berguna bagi Kami dalam memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik .Dan dengan tersusunya Makalah ini di harapkan Juga bisa menjadi pedoman bagi yang membaca.

Dalam penyusunan makalah ini kami sebagai penuilis telah berusaha dengan segenap kemampuan,sebagai pemula tentunya masih banyak kekurangan dan kesalahan.oleh karena itu,kritik dan saran bagi yang membaca makalah ini,Kami butuhkan agar makalah ini menjadi lebih baik dan di gunakan sebagai mana fungsinya.

Penyusun

Kelompok 1

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................................................

KATA PENGANTAR .............................................................................................................

DAFTAR ISI ............................................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN.........................................................................................................

1.1. LATAR BELAKANG MASALAH..................................................................................................

1.2. RUMUSAN MASALAH ..................................................................................................................

1.3. TUJUAN .............................................................................................................................................

BAB II PEMBAHASAN .........................................................................................................

2.1 MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN.......................................................................................

2.1.1. DEFINISI/PENJELASAN .........................................................................................................

2.1.2. CONTOH KASUS .........................................................................................................................

2.1.2. CONTOH PROGRAMNYA ........................................................................................................

BAB III PENUTUP .................................................................................................................

3.1. KESIMPULAN ..................................................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................................

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.LATAR BELAKANG MASALAH

Untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model suatu persoalan nyata bidang rekayasa, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 yang digunakan dalam model. Dalam beberapa kasus,melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan; akan tetapi, lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga teknik analisis matematika murni belum dapat memberikan solusi.

1.2.RUMUSAN MASALAH

Berikut adalah rumusan masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah :

1) Definisi dan penjelasan dari akar persamaan.

2) .Beberapa contoh kasus dalam menentukan akar persamaan dengan menggunakan beberapa metode.

3) .Contoh program.

1.3. TUJUAN

Berdasarkan rumusan masalah yang telah di buat ,makalah ini disusun dengan tujuan untuk:

1. Mengetahui pengertian atau definisi dari akar persamaan.

2. Menjelaskan contoh kasus dalam menentukan akar persamaan.

3. Mengetahui contoh programnya.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. MENETUKAN AKAR PERSAMAAN

2.1.1.DEFINISI ATAU PENJELASAN

Definisi akar :

Suatu akar dari persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0 = 0 pada fungsi f(x)

Sebagai contoh, penyelesaian analitik untuk fungsi kuadratik

f ( x) =x + x2+ c = 0 diberikan oleh Hasil perhitungan dari rumus ABC merupakan akar-akar bagi persamaan tersebut. Akar-akar tersebut memberikan nilai-nilai x

yang menjadikan persamaan itu sama dengan nol. Namun untuk bentuk-bentuk persamaan non-linear dengan derajat, terkadang akan ditemukan kesulitan untuk mendapatkan akar-akarnya. Sehingga untuk persamaan non-linear menggunakan metode-metodelain yang bukan dengan menggunakan rumus ABC.

Untuk persamaan polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus persamaan kuadrat yang sangat sederhana. Misalnya ax2 + bx + c = 0, persamaan ini dapat dicari akar-akarnya secara analitis, dengan rumus berikut:

Untuk persamaan polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat kompleks dan jarang sekali digunakan. Sedang untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Bentuk persamaan tersebut misalnya adalah:

f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.

f (x) = x5 + 2×4 + 3×3 + 4×2 – 3x – 1 = 0.

f (x) = ex – 3x = 0.

f (x) = 3x + sin x – ex = 0, dan sebagainya.

Gambar 1. Menentukan akar persamaan secara grafis

Kedua cara tersebut tidak efisien dan tidak sistematis, sehingga ada beberapa metode yang juga merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan.

2.1.2.CONTOH KASUS DALAM MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN DENGAN MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE

1. Metode Setengah Interval

Metode ini merupakan bentuk yang paling sederhana diantara metode-metode numerik lainnya dalam menyelesaikan akar-akar persamaan. Langkah-langkah yang dilakukan pada penyelesaian persamaan dengan metode ini adalah sebagai berikut:

1). Hitung fungsi pada interval yang sama dari x hingga ada perubahan tanda dari fungsi f (x_i) dan f (x_{i +
1}), yaitu bila f (x_i) ´ f (x_{i
+ 1}) < 0.

2). Perkiraan pertama dari akar x_t dihitung dari rerata nilai x_idan x_{i + 1}:

3). Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub-interval mana akar persamaan berada:

a) jika f (x_i) ´ f (x_t) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, lalu tetapkan x_{i
+ 1}= x_t dan teruskan pada langkah ke 4.

b) jika f (x_i) ´ f (x_t) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, lalu tetapkan nilai x_i= x_t dan teruskan pada langkah ke 4.

c) jika f (x_i) ´ f (x_t) = 0, akar persamaan adalah x_t dan hitungan selesai.

4). Hitung perkiraan baru dari akar dengan menggunakan persamaan (1).

5). Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitungan selesai dan x_t adalah akar persamaan yang dicari, jika belum maka hitungan kembali ke langkah 3.

Gambar 2. Prosedur hitungan metode setengah interval

Contoh soal:

Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut ini:

f (x) = x³ + x² – 3x – 3 = 0.

Penyelesaian:

Dihitung nilai f (x) pada interval antara dua titik, misalnya x = 1 dan x = 2.

Untuk x = 1; f (x = 1) = (1)³ + (1)² – 3(1) – 3 = – 4.

Untuk x = 2; f (x = 2) = (2)³ + (2)² – 3(2) – 3 = 3.

Mengingat fungsi mempunyai bentuk kontinu, maka perubahan tanda dari fungsi antara nilai x = 1 dan x = 2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.

Dihitung nilai x_t, lalu dihitung fungsi f (x_t):

Karena fungsi berubah tanda antara x = 1,5 dan x = 2, maka akar persamaan terletak diantara kedua nilai tersebut. Dengan menggunakan pemrograman komputer maka hasil hitungan akar persamaan dengan metode setengah interval didapat pada iterasi 13 (lihat Tabel 1, yang merupakan keluaran dari program komputer), yaitu sebesar x_t = 1,73206.Tabel 1. Hasil hitungan metode setengah interval (contoh soal no 1)

I	x_i	x_{i + 1}	x_t	f (x_i)	f (x_{i + 1})	f (x_t)
1	1.00000	2.00000	1.50000	- 4.00000	3.00000	- 1.87500
2	1.50000	2.00000	1.75000	- 1.87500	3.00000	0.17188
3	1.50000	1.75000	1.62500	- 1.87500	0.17188	- 0.94336
4	1.62500	1.75000	1.68750	- 0.94336	0.17188	- 0.40942
5	1.68750	1.75000	1.71875	- 0.40942	0.17188	- 0.12479
6	1.71875	1.75000	1.73438	- 0.12479	0.17188	0.02203
-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-
12	1.73193	1.73242	1.73218	- 0.00111	0.00351	0.00120
13	1.73193	1.73218	1.73206	- 0.00111	0.00120	0.00005

2. Metode Interpolasi Linier

Metode ini dikenal juga dengan metode false position, metode ini ada untuk menutupi kekurangan pada metode setengah interval yang mudah tetapi tidak efisien (untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi cukup panjang). Dengan metode ini nilai akar dari suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh daripada dengan metode setengah interval, metode ini didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan.

Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap interval Δx, yang sama hingga didapat dua nilai fungsi f (x_i) dan f (x_{i
+ 1}) berurutan dengan tanda berlawanan (Gambar 3). Kedua nilai fungsi tersebut ditarik garis lurus hingga terbentuk suatu segitiga, dengan menggunakan sifat segitiga sebangun didapat persamaan berikut:

Contoh soal:

Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini:

f (x) = x³ + x² – 3x – 3 = 0.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menghitung nilai f (x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f (x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda. Dihitung nilai f (x) pada interval antara dua titik, misalnya x = 1 dan x = 2.

Untuk x₁ = 1; f (x₁ = 1) = (1)³ + (1)² – 3(1) – 3 = – 4.

Untuk x₂ = 2; f (x₂ = 2) = (2)³ + (2)² – 3(2) – 3 = 3.

Dengan menggunakan persamaan (2), didapat:

Karena f (x_*) bertanda negatif maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x = 2, selanjutnya dihitung nilai x_*:

Dengan menggunakan pemrograman komputer, hasil hitungan tersebut diatas ada pada Tabel 2 dan didapat pada iterasi ke 7, yaitu x_*= 1,73205.

Tabel 2. Hasil hitungan metode interpolasi linier

I	x_i	x_{i + 1}	x_*	f (x_i)	f (x_{i + 1})	f *(x_)**
1	1.00000	2.00000	1.57143	- 4.00000	3.00000	- 1.36443
2	1.57143	2.00000	1.70541	- 1.36443	3.00000	- 0.24774
3	1.70541	2.00000	1.72788	- 0.24774	3.00000	- 0.03934
4	1.72788	2.00000	1.73141	- 0.03934	3.00000	- 0.00611
5	1.73141	2.00000	1.73195	- 0.00611	3.00000	- 0.00094
6	1.73195	2.00000	1.73204	- 0.00094	3.00000	- 0.00014
7	1.73204	2.00000	1.73205	- 0.00014	3.00000	- 0.00002

3. Metode Newton-Raphson

Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan, jika perkiraan awal dari akar adalah x_i, maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (x_i, f (x_i)). Titik dari garis singgung tersebut memotong sumbu-x, biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

Pada Gambar 4, nampak bahwa turunan pertama pada x_i adalah ekivalen dengan kemiringan, yaitu:

Gambar 4. Prosedur metode Newton-Raphson secara grafis

Contoh soal:

Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Newton-Raphon.

f (x) = x³ + x² – 3x – 3 = 0.

Penyelesaian:

Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah: f ¢(x) = 3x² + 2x – 3,

Dengan menggunakan persamaan (3), yaitu:

Pada awal hitungan ditentukan nilai x_i sembarang, misalnya x₁ = 1, maka:

Langkah berikutnya nilai x₂ = 3, tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.

Hitungan dilanjutkan dengan menggunakan program komputer dan hasilnya nampak pada Tabel 3, serta hasil hitungan didapat pada iterasi ke 6.

Tabel 3. Hasil hitungan metode Newton-Raphson

I	x_i	x_{i + 1}	f (x_i)	f (x_{i + 1})
1	1.00000	3.00000	- 4.0000	24.00000
2	3.00000	2.20000	24.0000	5.88800
3	2.20000	1.83015	5.88800	0.98900
4	1.83015	1.73780	0.98900	0.05457
5	1.73780	1.73207	0.05457	0.00021
6	1.73207	1.73205	0.00021	0.00000

4. Metode secant
Kekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari f (x) dalam hitungan, mungkin sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang diselesaikan, maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

Gambar 5. Metode Secant

Nampak pada Gambar 5, garis singgung di titik x_i didekati oleh bentuk berikut:

Apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (3), maka didapat:

Pada metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x, yang digunakan untuk memperkirakan kemiringan dari fungsi.

Contoh soal:

Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Secant.

f (x) = x³ + x² – 3x – 3 = 0.

Penyelesaian

Iterasi pertama, diambil dua nilai awal yaitu x = 1 dan x = 2.

Untuk x₁ = 1, –> f (x₁ = 1) = – 4, dan x₂ = 2, –> f (x₂ = 2) = 3.

Dengan menggunakan persamaan (4), didapat:

Pada iterasi kedua, hitungan dilakukan berdasar nilai x₂ = 2 dan x₃ = 1,57142.

Untuk x₂ = 2, –> f (x₂ = 2) = 3, dan x₃ = 1,57142, –> f (x₃ = 1,57142) = -1,36449.

Dengan menggunakan persamaan (4), didapat:

Dengan menggunakan pemrograman komputer, hasilnya diberikan pada Tabel 4, dan iterasi ke 5 merupakan hasil hitungan yang diperoleh yaitu x = 1,73205.

Tabel 4. Hasil hitungan metode Secant

I	x_{i – 1}	x_i	x_{i + 1}	f (x_{i – 1})	f (x_i)	f (x_{i + 1})
1	1.00000	2.00000	1.57143	- 4.00000	3.00000	- 1.36443
2	2.00000	1.57143	1.70541	3.00000	- 1.36443	- 0.24774
3	1.57143	1.70541	1.73514	- 1.36443	- 0.24774	0.02925
4	1.70541	1.73514	1.73200	- 0.24774	0.02925	- 0.00051
5	1.73514	1.73200	1.73205	0.02925	- 0.00051	0.00000

2.1.3. MENYELASIKAN AKAR PERSAMAAN DENGAN MENGGUNAKAN BAGAN ALIR PROGRAM

1. Bagan Alir Metode Bisection

BAB III

PENUTUP

3.1. KESIMPULAN

Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan hingga didapat hasil yang mendekati penyelesaian secara benar (eksak). Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), maka tiap hasil akan lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan berbagai iterasi yang dianggap cukup, akan didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil yang benar (eksak) dengan toleransi yang diijinkan. Salah satu cara yang sederhana untuk penyelesaian perkiraan, yaitu dengan menggambarkan fungsi tersebut lalu dicari titik potongnya dengan sumbu-x yang menunjukkan akar dari persamaan tersebut, Cara lain yaitu dengan cara coba banding, yaitu dengan mencoba nilai x sembarang kemudian dievaluasi apakah nilai f (x) = 0, jika nilai x tidak sama dengan nol lalu dicoba nilai x yang lain, cara ini diulang terus menerus hingga didapat nilai f (x) = 0, untuk suatu nilai x tertentu, yang merupakan akar dari persamaan yang diselesaikan.