MAKALAH
METODE NUMERIK
“PENENTUAN AKAR PERSAMAAN”
OLEH
USMAN NGABITO
UNIVERSITAS ICHSAN GORONTALO
KAMPUS II POHUWATO
FAKULTAS ILMU KOMPUTER
TAHUN 2014/2015
KATA
PENGANTAR
Rasa syukur Kami panjatkan kehadirat Allah SWT dengan rahmat dan
hidayahNya Kami dapat menyelesaikan makalah ini,untuk memenuhi tugas matakuliah
Metode
Numerik
Semoga dengan tersusunya makalah ini
dapat berguna bagi Kami dalam memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik .Dan
dengan tersusunya Makalah ini di harapkan Juga bisa menjadi pedoman bagi yang
membaca.
Dalam penyusunan makalah ini kami sebagai penuilis telah berusaha
dengan segenap kemampuan,sebagai pemula tentunya masih banyak kekurangan dan
kesalahan.oleh karena itu,kritik dan saran bagi yang membaca makalah ini,Kami
butuhkan agar makalah ini menjadi lebih baik dan di gunakan sebagai mana
fungsinya.
Penyusun
Kelompok
1
DAFTAR ISI
HALAMAN
JUDUL .................................................................................................................
KATA
PENGANTAR
.............................................................................................................
DAFTAR
ISI ............................................................................................................................
BAB
I
PENDAHULUAN.........................................................................................................
1.1. LATAR BELAKANG
MASALAH..................................................................................................
1.2. RUMUSAN MASALAH
..................................................................................................................
1.3. TUJUAN .............................................................................................................................................
BAB
II PEMBAHASAN
.........................................................................................................
2.1 MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN.......................................................................................
2.1.1.
DEFINISI/PENJELASAN
.........................................................................................................
2.1.2.
CONTOH KASUS
.........................................................................................................................
2.1.2.
CONTOH PROGRAMNYA
........................................................................................................
BAB
III PENUTUP
.................................................................................................................
3.1.
KESIMPULAN
..................................................................................................................................
DAFTAR
PUSTAKA
...............................................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.LATAR
BELAKANG MASALAH
Untuk mendapatkan penyelesaian
matematika yang menjabarkan model suatu persoalan nyata bidang rekayasa, sering
solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa sehingga
terpenuhi persamaan f(x) = 0 yang digunakan dalam model. Dalam beberapa
kasus,melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang
diinginkan; akan tetapi, lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai
bentuk yang rumit, sehingga teknik analisis matematika murni belum dapat
memberikan solusi.
1.2.RUMUSAN MASALAH
Berikut
adalah rumusan masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah :
1)
Definisi dan penjelasan dari akar
persamaan.
2)
.Beberapa contoh kasus dalam
menentukan akar persamaan dengan menggunakan beberapa metode.
3)
.Contoh program.
1.3. TUJUAN
Berdasarkan
rumusan masalah yang telah di buat ,makalah ini disusun dengan tujuan untuk:
1.
Mengetahui pengertian atau
definisi dari akar persamaan.
2.
Menjelaskan contoh kasus dalam
menentukan akar persamaan.
3.
Mengetahui contoh programnya.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1. MENETUKAN AKAR PERSAMAAN
2.1.1.DEFINISI
ATAU PENJELASAN
Definisi akar :
Suatu akar dari
persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan
identitas 0 = 0 pada fungsi f(x)
Sebagai contoh, penyelesaian
analitik untuk fungsi kuadratik
f ( x) =x + x2+
c = 0 diberikan oleh Hasil perhitungan dari rumus ABC merupakan akar-akar bagi
persamaan tersebut. Akar-akar tersebut memberikan nilai-nilai x
yang menjadikan persamaan itu sama dengan nol.
Namun untuk bentuk-bentuk persamaan non-linear dengan derajat,
terkadang akan ditemukan kesulitan untuk mendapatkan akar-akarnya.
Sehingga untuk persamaan non-linear menggunakan metode-metodelain yang bukan dengan menggunakan rumus ABC.
Untuk
persamaan polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus
persamaan kuadrat yang sangat sederhana. Misalnya ax2 + bx + c = 0,
persamaan ini dapat dicari akar-akarnya secara analitis, dengan rumus berikut:
Untuk
persamaan polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat
kompleks dan jarang sekali digunakan. Sedang untuk persamaan dengan derajat
yang lebih tinggi tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk
menyelesaikannya. Bentuk persamaan tersebut misalnya adalah:
f
(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
f
(x) = x5 + 2×4 + 3×3 + 4×2 – 3x – 1 = 0.
f
(x) = ex – 3x = 0.
f
(x) = 3x + sin x – ex = 0, dan sebagainya.
Gambar
1. Menentukan akar persamaan secara grafis
Kedua
cara tersebut tidak efisien dan tidak sistematis, sehingga ada beberapa metode
yang juga merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk
menghitung akar-akar persamaan.
2.1.2.CONTOH
KASUS DALAM MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN DENGAN MENGGUNAKAN BEBERAPA METODE
1.
Metode Setengah Interval
Metode ini merupakan bentuk
yang paling sederhana diantara metode-metode numerik lainnya dalam
menyelesaikan akar-akar persamaan. Langkah-langkah yang dilakukan pada
penyelesaian persamaan dengan metode ini adalah sebagai berikut:
1).
Hitung fungsi pada interval yang sama dari x hingga ada perubahan tanda
dari fungsi f (xi) dan f (xi +
1), yaitu bila f (xi) ´ f (xi
+ 1) < 0.
2).
Perkiraan pertama dari akar xt dihitung dari rerata nilai xi
dan xi + 1:
3).
Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub-interval mana akar
persamaan berada:
a)
jika f (xi) ´ f (xt) < 0,
akar persamaan berada pada sub interval pertama, lalu tetapkan xi
+ 1 = xt dan teruskan pada langkah ke 4.
b)
jika f (xi) ´ f (xt)
> 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, lalu tetapkan nilai xi
= xt dan teruskan pada langkah ke 4.
c)
jika f (xi) ´ f (xt) = 0,
akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai.
4). Hitung
perkiraan baru dari akar dengan menggunakan persamaan (1).
5). Apabila
perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka
hitungan selesai dan xt adalah akar persamaan yang
dicari, jika belum maka hitungan kembali ke langkah 3.
Gambar
2. Prosedur hitungan metode setengah interval
Contoh
soal:
Hitung
salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut ini:
f
(x)
= x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian:
Dihitung
nilai f (x) pada interval antara dua titik, misalnya x = 1
dan x = 2.
Untuk
x = 1; f (x = 1) = (1)3 + (1)2
– 3(1) – 3 = – 4.
Untuk
x = 2; f (x = 2) = (2)3 + (2)2
– 3(2) – 3 = 3.
Mengingat
fungsi mempunyai bentuk kontinu, maka perubahan tanda dari fungsi antara nilai x
= 1 dan x = 2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik
perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.
Dihitung
nilai xt, lalu dihitung fungsi f (xt):
Karena
fungsi berubah tanda antara x = 1,5 dan x = 2, maka akar
persamaan terletak diantara kedua nilai tersebut. Dengan menggunakan
pemrograman komputer maka hasil hitungan akar persamaan dengan metode setengah
interval didapat pada iterasi 13 (lihat Tabel 1, yang merupakan keluaran dari
program komputer), yaitu sebesar xt = 1,73206.Tabel 1.
Hasil hitungan metode setengah interval (contoh soal no 1)
I
|
xi
|
xi
+ 1
|
xt
|
f (xi)
|
f (xi
+ 1)
|
f (xt)
|
1
|
1.00000
|
2.00000
|
1.50000
|
- 4.00000
|
3.00000
|
- 1.87500
|
2
|
1.50000
|
2.00000
|
1.75000
|
- 1.87500
|
3.00000
|
0.17188
|
3
|
1.50000
|
1.75000
|
1.62500
|
- 1.87500
|
0.17188
|
- 0.94336
|
4
|
1.62500
|
1.75000
|
1.68750
|
- 0.94336
|
0.17188
|
- 0.40942
|
5
|
1.68750
|
1.75000
|
1.71875
|
- 0.40942
|
0.17188
|
- 0.12479
|
6
|
1.71875
|
1.75000
|
1.73438
|
- 0.12479
|
0.17188
|
0.02203
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
12
|
1.73193
|
1.73242
|
1.73218
|
- 0.00111
|
0.00351
|
0.00120
|
13
|
1.73193
|
1.73218
|
1.73206
|
- 0.00111
|
0.00120
|
0.00005
|
2. Metode
Interpolasi Linier
Metode ini dikenal juga
dengan metode false position, metode ini ada untuk menutupi kekurangan pada
metode setengah interval yang mudah tetapi tidak efisien (untuk mendapatkan
hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi cukup panjang). Dengan
metode ini nilai akar dari suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh daripada
dengan metode setengah interval, metode ini didasarkan pada interpolasi antara
dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan.
Mula-mula
dicari nilai fungsi untuk setiap interval Δx, yang sama hingga didapat
dua nilai fungsi f (xi) dan f (xi
+ 1) berurutan dengan tanda berlawanan (Gambar 3). Kedua nilai fungsi
tersebut ditarik garis lurus hingga terbentuk suatu segitiga, dengan
menggunakan sifat segitiga sebangun didapat persamaan berikut:
Contoh
soal:
Hitung
salah satu akar dari persamaan berikut ini:
f (x) = x3
+ x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian:
Langkah
pertama adalah menghitung nilai f (x) pada interval antara dua
titik sedemikian sehingga nilai f (x) pada kedua titik tersebut
berlawanan tanda. Dihitung nilai f (x) pada interval antara dua
titik, misalnya x = 1 dan x = 2.
Untuk
x1 = 1; f (x1 = 1) =
(1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = – 4.
Untuk
x2 = 2; f (x2 = 2) =
(2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3.
Dengan
menggunakan persamaan (2), didapat:
Karena
f (x*) bertanda negatif maka akar terletak antara x
= 1,57142 dan x = 2, selanjutnya dihitung nilai x*:
Dengan
menggunakan pemrograman komputer, hasil hitungan tersebut diatas ada pada
Tabel 2 dan didapat pada iterasi ke 7, yaitu x*= 1,73205.
Tabel
2. Hasil hitungan metode interpolasi linier
I
|
xi
|
xi
+ 1
|
x*
|
f (xi)
|
f (xi
+ 1)
|
f (x*)
|
1
|
1.00000
|
2.00000
|
1.57143
|
- 4.00000
|
3.00000
|
- 1.36443
|
2
|
1.57143
|
2.00000
|
1.70541
|
- 1.36443
|
3.00000
|
- 0.24774
|
3
|
1.70541
|
2.00000
|
1.72788
|
- 0.24774
|
3.00000
|
- 0.03934
|
4
|
1.72788
|
2.00000
|
1.73141
|
- 0.03934
|
3.00000
|
- 0.00611
|
5
|
1.73141
|
2.00000
|
1.73195
|
- 0.00611
|
3.00000
|
- 0.00094
|
6
|
1.73195
|
2.00000
|
1.73204
|
- 0.00094
|
3.00000
|
- 0.00014
|
7
|
1.73204
|
2.00000
|
1.73205
|
- 0.00014
|
3.00000
|
- 0.00002
|
3.
Metode Newton-Raphson
Metode ini paling banyak
digunakan dalam mencari akar-akar persamaan, jika perkiraan awal dari akar
adalah xi, maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik
(xi, f (xi)). Titik dari garis
singgung tersebut memotong sumbu-x, biasanya memberikan perkiraan yang
lebih dekat dari nilai akar.
Pada
Gambar 4, nampak bahwa turunan pertama pada xi adalah
ekivalen dengan kemiringan, yaitu:
Gambar
4. Prosedur metode Newton-Raphson secara grafis
Contoh
soal:
Hitung
salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Newton-Raphon.
f
(x)
= x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian:
Turunan
pertama dari persamaan tersebut adalah: f ¢(x)
= 3x2 + 2x – 3,
Pada
awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x1
= 1, maka:
Langkah
berikutnya nilai x2 = 3, tersebut digunakan untuk hitungan
pada iterasi berikutnya.
Hitungan
dilanjutkan dengan menggunakan program komputer dan hasilnya nampak pada Tabel
3, serta hasil hitungan didapat pada iterasi ke 6.
Tabel
3. Hasil hitungan metode Newton-Raphson
I
|
xi
|
xi
+ 1
|
f (xi)
|
f (xi
+ 1)
|
1
|
1.00000
|
3.00000
|
- 4.0000
|
24.00000
|
2
|
3.00000
|
2.20000
|
24.0000
|
5.88800
|
3
|
2.20000
|
1.83015
|
5.88800
|
0.98900
|
4
|
1.83015
|
1.73780
|
0.98900
|
0.05457
|
5
|
1.73780
|
1.73207
|
0.05457
|
0.00021
|
6
|
1.73207
|
1.73205
|
0.00021
|
0.00000
|
4. Metode secant
Kekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari f (x) dalam hitungan, mungkin sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang diselesaikan, maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.
Kekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari f (x) dalam hitungan, mungkin sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang diselesaikan, maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.
Gambar
5. Metode Secant
Nampak
pada Gambar 5, garis singgung di titik xi didekati oleh
bentuk berikut:
Apabila
disubstitusikan ke dalam persamaan (3), maka didapat:
Pada
metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x, yang digunakan
untuk memperkirakan kemiringan dari fungsi.
Contoh
soal:
Hitung
salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Secant.
f
(x)
= x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian
Iterasi
pertama, diambil dua nilai awal yaitu x = 1 dan x = 2.
Untuk
x1 = 1, –> f (x1
= 1) = – 4, dan x2 = 2, –> f (x2
= 2) = 3.
Dengan
menggunakan persamaan (4), didapat:
Pada
iterasi kedua, hitungan dilakukan berdasar nilai x2 = 2 dan x3
= 1,57142.
Untuk
x2 = 2, –> f (x2 = 2)
= 3, dan x3 = 1,57142, –> f (x3
= 1,57142) = -1,36449.
Dengan
menggunakan persamaan (4), didapat:
Dengan
menggunakan pemrograman komputer, hasilnya diberikan pada Tabel 4, dan iterasi
ke 5 merupakan hasil hitungan yang diperoleh yaitu x = 1,73205.
Tabel
4. Hasil hitungan metode Secant
I
|
xi
– 1
|
xi
|
xi
+ 1
|
f (xi
– 1)
|
f (xi)
|
f (xi
+ 1)
|
1
|
1.00000
|
2.00000
|
1.57143
|
- 4.00000
|
3.00000
|
- 1.36443
|
2
|
2.00000
|
1.57143
|
1.70541
|
3.00000
|
- 1.36443
|
- 0.24774
|
3
|
1.57143
|
1.70541
|
1.73514
|
- 1.36443
|
- 0.24774
|
0.02925
|
4
|
1.70541
|
1.73514
|
1.73200
|
- 0.24774
|
0.02925
|
- 0.00051
|
5
|
1.73514
|
1.73200
|
1.73205
|
0.02925
|
- 0.00051
|
0.00000
|
2.1.3. MENYELASIKAN AKAR
PERSAMAAN DENGAN MENGGUNAKAN BAGAN ALIR
PROGRAM
1.
Bagan Alir Metode Bisection
BAB III
PENUTUP
3.1. KESIMPULAN
Metode numerik memberikan
cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan hingga
didapat hasil yang mendekati penyelesaian secara benar (eksak). Penyelesaian
numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), maka tiap hasil
akan lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan berbagai iterasi yang
dianggap cukup, akan didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil yang benar
(eksak) dengan toleransi yang diijinkan. Salah satu cara yang sederhana untuk
penyelesaian perkiraan, yaitu dengan menggambarkan fungsi tersebut lalu dicari
titik potongnya dengan sumbu-x yang menunjukkan akar dari persamaan tersebut, Cara
lain yaitu dengan cara coba banding, yaitu dengan mencoba nilai x sembarang
kemudian dievaluasi apakah nilai f (x) = 0, jika nilai x tidak sama dengan nol
lalu dicoba nilai x yang lain, cara ini diulang terus menerus hingga didapat
nilai f (x) = 0, untuk suatu nilai x tertentu, yang merupakan akar dari
persamaan yang diselesaikan.
DAFTAR PUSTAKA
Bambang Triatmodjo, 1992, Metode
Numerik, Beta Offset, Yogyakarta. (Bab II; Halaman: 21-36)
Diktat Metode Numerik Komputasi
Elektro ISTA Yogyakarta (http://elista.akprind.ac.id/upload/files/9906_Bab_3.doc)
